Question

6．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+tcosθ\\ y=tsinθ\end{array}\right.$，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin²α-2cosα=0．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程转化为ρ²sin²α=2ρcosα，由此能求出曲线C的直角坐标方程．
（2）把直线的参数方程化入y²=2x，得t²sin²θ-2tcosθ-1=0，设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂，则|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，由此能求出当$θ=\frac{π}{2}$时，|AB|取最小值2．

解答 解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρsin²α-2cosα=0，
∴ρ²sin²α=2ρcosα，
∴曲线C的直角坐标方程为y²=2x．
（2）直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+tcosθ\\ y=tsinθ\end{array}\right.$，（t为参数，0＜θ＜π），
把直线的参数方程化入y²=2x，得t²sin²θ-2tcosθ-1=0，
设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂，
则${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{2cosθ}{si{n}^{2}θ}$，t₁•t₂=-$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$，
|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$
=$\sqrt{\frac{4co{s}^{2}θ}{si{n}^{4}θ}+\frac{4}{si{n}^{2}θ}}$=$\frac{2}{si{n}^{2}θ}$，
∴当$θ=\frac{π}{2}$时，|AB|取最小值2．

点评 本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的最小值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．