Question

1．已知F₁，F₂是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF₁|＞|PF₂|，椭圆的离心率为e₁，双曲线的离心率为e₂，若|PF₂|=|F₁F₂|，则$\frac{{e}_{2}}{3}$+$\frac{3}{{e}_{1}}$的最小值为（　　）

• A． 6+2$\sqrt{3}$
• B． 8
• C． 6+2$\sqrt{2}$
• D． 6

Answer 1

分析 通过图象可知：|PF₂|=|F₁F₂|=2c，设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}$=1（a₁＞b₁＞0），双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{2}}^{2}}$=1（a₂＞0，b₂＞0），利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得$\frac{{e}_{2}}{3}$+$\frac{3}{{e}_{1}}$的表达式，通过基本不等式即得结论．

解答 解：由题意可知：|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{1}}^{2}}$=1（a₁＞b₁＞0），
双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{{b}_{2}}^{2}}$=1（a₂＞0，b₂＞0），
又∵|F₁P|+|F₂P|=2a₁，|PF₁|-|F₂P|=2a₂，
∴|F₁P|+2c=2a₁，|F₁P|-2c=2a₂，
两式相减，可得：a₁-a₂=2c，
则$\frac{{e}_{2}}{3}$+$\frac{3}{{e}_{1}}$=$\frac{c}{3{a}_{2}}$+$\frac{3{a}_{1}}{c}$=$\frac{9{a}_{1}{a}_{2}+{c}^{2}}{3c{a}_{2}}$=$\frac{9{a}_{2}（{a}_{2}+2c）+{c}^{2}}{3c{a}_{2}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{9{a}_{2}}{c}$+$\frac{c}{{a}_{2}}$+18）
≥$\frac{1}{3}$•（2$\sqrt{\frac{9{a}_{2}}{c}•\frac{c}{{a}_{2}}}$+18）=8．
当且仅当$\frac{9{a}_{2}}{c}$=$\frac{c}{{a}_{2}}$，即有e₂=3时等号成立，
则$\frac{{e}_{2}}{3}$+$\frac{3}{{e}_{1}}$的最小值为8，
故选：B．

点评 本题考查椭圆和双曲线的定义和简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．