Question

5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a=1，c=2，$cosC=\frac{1}{4}$，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{8}$
• C． $\frac{{\sqrt{15}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{15}}}{8}$

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC，由余弦定理可得2b²-b-6=0，解得b的值，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：∵a=1，c=2，$cosC=\frac{1}{4}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴由余弦定理可得：$\frac{1}{4}$=$\frac{{1}^{2}+{b}^{2}-{2}^{2}}{2×1×b}$，整理可得：2b²-b-6=0，
∴解得：b=2或-$\frac{3}{2}$（舍去），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．