Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若存在正数a，使得时，，求实数k的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）时，在上递增；时，在上递减，在上递增.（2）或.

【解析】

（1）求得的导函数，将分成和两种情况，讨论的单调性.

（2）将分成、和三种情况，结合（1）中的结论，化简，然后利用构造函数法，结合导数，求得实数的取值范围.

（1）.当时，，在上递增.当时，令解得，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增.

（2），

①当时，在上单调递增，且，所以，所以，即，也即，令，则.因为，，所以，所以，所以在上递增，，所以存在，在上成立.

②当时，，由（1）知在上递减，在上递增，所以在上递增，，所以，所以，即，也即.令，则.令，解得，因为，所以，所以在上递减，，不符合.

③当时，.因为在上递减，在上递增，存在，时，，所以，要使，只需，即.令，则，令，得.当时，，在上递增，，不成立.当时，，存在，使得在上递减，，成立.

综上所述，或.