Question

【题目】已知函数为常数).

（1）讨论的单调性；

（2）是的导函数，若存在两个极值点，求证:

Answer 1

【答案】（1）当时，函数在实数集上的减函数；

当时，当时，函数单调递减；

当时，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；（2）证明见解析过程.

【解析】

（1）对函数进行求导，结合基本不等式进行分类讨论即可；

（2）计算出的值，根据已知和所要证明的不等式，构造新函数，再对新函数进行求导，结合基本不等式可以判断出新函数的单调性，利用新函数的单调性证明即可.

（1）.

因为（当且仅当时取等号），所以，

当时，，函数在实数集上的减函数；

当时，或，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

（2），函数存在两个极值点，由（1）可知：，此时构造新函数为，

所以，所以函数是减函数，

当时，，

所以有，因为，所以有