Question

【题目】已知圆O1与圆O：x2+y2＝r（r＞0）交于点P（﹣1，y0）.且关于直线x+y＝1对称.

（1）求圆O及圆O1的方程：

（2）在第一象限内.圆O上是否存在点A，过点A作直线l与抛物线y2＝4x交于点B，与x轴交于点D，且以点D为圆心的圆过点O，A，B？若存在.求出点A的坐标；若不存在.说明理由.

Answer 1

【答案】（1）圆O1的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5；圆O的方程为x2+y2＝5（2）不存在，详见解析

【解析】

（1）由题意可得在直线上，可得的坐标，进而得到圆的方程；设关于直线的对称点为，由两直线垂直的条件和中点坐标公式可得，，进而得到圆的方程；

（2）假设在第一象限内．圆上存在点，且以点为圆心的圆过点，，，则，为的中点，设出，的方程，分别联立圆的方程和抛物线的方程，求得，的坐标，再由中点坐标公式，解方程即可判断存在性．

（1）圆O1与圆O：x2+y2＝r（r＞0）交于点P（﹣1，y0）.且关于直线x+y＝1对称，

可得P在直线x+y＝1上，即有﹣1+y0＝1，即y0＝2，P（﹣1，2），

可得r＝1+4＝5，则圆O的方程为x2+y2＝5；

设（0，0）关于直线x+y＝1的对称点为（a，b），可得a＝b，a+b＝2，

解得a＝b＝1，可得圆O1的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5；

（2）假设在第一象限内.圆O上存在点A，且以点D为圆心的圆过点O，A，B，

则OA⊥OB，D为AB的中点，由题意可得直线OA的斜率存在且大于0，设OA的方程为y＝kx（k＞0），

OB：yx，

由解得x，即有A（，k），

由可得x＝4k2，即有B（4k2，﹣4k），

由D为AB的中点，可得k4k＝0，

化为16k2+11＝0，方程无实数解，

则符合条件的k不存在，所以满足条件的A不存在.