Question

【题目】抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点是F，直线y＝2与抛物线C的交点到F的距离等于2．

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点（2，0）斜率为k的直线l交抛物线C于A、B两点，O为坐标原点，直线AO与直线x＝﹣2相交于点P，求证：BP∥x轴．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x；（2）见解析

【解析】

（1）求出直线y＝2与抛物线C的交点的横坐标，应用焦半径公式，即可求解；

（2）设出直线l的方程，与抛物线方程联立，建立A、B纵坐标关系，再利用三点共线，求出纵坐标关系，即可证明结论.

（1）由题意得直线与抛物线的交点坐标：（，2），

所以2 且p＞0解得：p＝2，

所以抛物线C的方程：y2＝4x；

（2）由题意得：直线l的斜率不为零，

设直线l的方程：x＝my+2，

代入抛物线方程得：y2﹣4my﹣8＝0，

设A（x0，y0），B（x'，y'），y0y'＝﹣8，y'，

所以B（x'，），直线OA的方程：yxx，

与x＝﹣2的交点P（﹣2，），

BP∥x轴．