Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=12n-n²．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（1）当n=1时，a₁=S₁=12×1-1²=11；…（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（12n-n²）-[12（n-1）-（n-1）²]=13-2n．…（3分）
n=1时，a₁=11也符合13-2n的形式．
所以，数列{a_n}的通项公式为a_n=13-2n．…（4分）
（2）令a_n=13-2n≥0，又n∈N^*，解得n≤6．…（5分）
当n≤6时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=S_n=12n-n²；…（8分）
当n＞6时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a₆|+|a₇|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₆-a₇-a₈-…-a_n=2S₆-S_n=2×（12×6-6²）-（12n-n²）
=n²-12n+72．…（11分）
综上，…（12分）
分析：（1）求出a₁，利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，求出a_n，验证n=1时满足通项公式，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）利用a_n=13-2n≥0求出整数数列的项数，然后讨论n≤6，n＞6时求数列{|a_n|}的前n项和T_n．
点评：本题是中档题，考查数列的通项公式的求法，前n 项和的求法，考查计算能力，注意数列中变符号的项，是常考题型．