Question

已知函数f(x)=lg

1-x

1+x

试求函数f（x）的（1）定义域；（2）值域；（3）奇偶性（4）单调区间．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得

1-x

1+x

＞0，解不等式即可
（2）结合对数函数y=lgx的值域R为可求
（3）由（1）所求的定义域，代入验证可得f（-x）=-f（x），从而可得函数为奇函数
（4）根据复合函数的单调性，分别判断t=

1-x

1+x

在(-1，1)上的单调性及y=lgt在（0，+∞）单调性，从而可得

解答：解：（1）由题意可得

1-x

1+x

＞0，解不等式可得-1＜x＜1
函数的定义域（-1，1）
（2）令t=

1-x

1+x

，则t＞0
由对数函数的性质可得值域R
（3）∵函数的定义域（-1，1）关于原点对称
∵f(-x)=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-f(x)
函数为奇函数
（4）∵函数的定义域（-1，1）
∵t=

1-x

1+x

=-1+

2

1+x

（-1，1）单碉递减，y=lgt在（0，+∞）单调递增
根据复合函数的单调性可得，函数的单调减区间（-1，1）

点评：本题主要考查了对数函数的定义域、值域、奇偶性、复合函数的单调区间的求解，要注意对奇偶性及单调区间的求解时不能忽略了函数的定义域，避免区间扩大，出现错误．