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    已知函数f(x)=ax+
    2
    x
    +6    ，其中a为实常数．
    （1）若f（x）＞3x在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
    （2）已知a=
    3
    4
    ，P1，P2是函数f（x）图象上两点，若在点P1，P2处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；
    （3）设定义在区间D上的函数y=s（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=t（x），当x≠x0时，若
    s(x)-t(x)
    x-x0
    ＞0    在D上恒成立，则称点P为函数y=s（x）的“好点”．试问函数g（x）=x2f（x）是否存在“好点”．若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由．
    分析：（1）方法一：讨论二次项系数是否为0，然后讨论开口方向结合利用二次函数的性质求出a的取值范围；
    方法二：利用参变量分离法进行求解，将a分离出来，然后研究不等式另一侧函数的最大值即可求出a的取值范围；
    （2）先利用导数分别求出切线的斜率，然后表示出两切线方程，最后利用两平行线的距离公式表示出这两条切线间距离，再利用基本不等式可求出最大值；
    （3）设g（x）存在“好点”P（x0，y0），然后根据“好点”的定义建立关系式，讨论a的正负可求出“好点”坐标．
    解答：解：（1）方法一：f（x）＞3x在（1，+∞）上恒成立，即为（a-3）x2+6x+2＞0在（1，+∞）上恒成立，
    ①a=3时，结论成立；
    ②a＞3时，
    函数h（x）=（a-3）x2+6x+2图象的对称轴为x=-
    6
    2(a-3)
    ＜0    ，
    所以函数h（x）=（a-3）x2+6x+2在（1，+∞）单调递增，
    依题意h（1）＞0，即a＞-5，
    所以a＞3；
    ③a＜3不合要求，
    综上可得，实数a的取值范围是a≥3．
    方法二：f（x）＞3x在（1，+∞）上恒成立等价于a＞-
    2
    x2
    -
    6
    x
    +3    ，
    令h(x)=-
    2
    x2
    -
    6
    x
    +3=-2(
    1
    x
    +
    3
    2
    )2+
    15
    2

    因为x＞1，所以0＜
    1
    x
    ＜1    ，故-5＜h（x）＜3
    所以a≥3．
    （2）f′(x)=
    3
    4
    -
    2
    x2

    设P1（x1，y1），P2（x2，y2），在点P1，P2处的两切线互相平行，
    则
    3
    4
    -
    2
    x
    2
    1
    =
    3
    4
    -
    2
    x
    2
    2
    ，所以x1=x2（舍去），或x1=-x2，
    过点P1的切线l1：y-y1=f'（x1）（x-x1），即f'（x1）x-y+f（x1）-x1f'（x1）=0，
    过点P2的切线l2：f'（x2）x-y+f（x2）-x2f'（x2）=0
    两平行线间的距离是d=
    |f(x1)-f(x2)-x1f′(x1)+x2f′(x2)|
    		1+[f′(x1)]2
    =
    2|(
    3
    4
    x1+
    2
    x1
    )-x1(
    3
    4
    -
    2
    x
    2
    1
    )|
    		1+(
    3
    4
    -
    2
    x
    2
    1
    )    2
    =
    8
    |x1|
    25
    16
    -
    3
    x
    2
    1
    +
    4
    x
    4
    1
    =
    8
    25
    16
    x
    2
    1
    +
    4
    x
    2
    1
    -3
    ，
    因为
    25
    16
    x
    2
    1
    +
    4
    x
    2
    1
    ≥2
    25
    16
    x
    2
    1
    •
    4
    x
    2
    1
    =5    ，所以d≤
    8
    		5-3
    =4
    		2
    ，
    即两平行切线间的最大距离是4
    		2
    ．
    （3）g（x）=x2f（x）=ax3+6x2+2x，设g（x）存在“好点”P（x0，y0），
    由g'（x）=3ax2+12x+2，得h（x）=g'（x0）（x-x0）+g（x0），
    依题意
    g(x)-h(x)
    x-x0
    ＞0    对任意x≠x0恒成立，
    因为
    g(x)-[g′(x0)(x-x0)+g(x0)]
    x-x0
    =
    [g(x)-g(x0)]-g′(x0)(x-x0)
    x-x0

    =
    [(ax3+6x2+2x)-(a
    x
    3
    0
    +6
    x
    2
    0
    +2x0)]-(3a
    x
    2
    0
    +12x0+2)(x-x0)
    x-x0

    =[a(x2+x0x+
    x
    2
    0
    )+6(x+x0)+2]-(3a
    x
    2
    0
    +12x0+2)
    =ax2+(ax0+6)x-(2a
    x
    2
    0
    +6x0)    ，
    所以ax2+(ax0+6)x-(2a
    x
    2
    0
    +6x0)＞0    对任意x≠x0恒成立，
    ①若a≤0，ax2+(ax0+6)x-(2a
    x
    2
    0
    +6x0)＞0    不可能对任意x≠x0恒成立，
    即a≤0时，不存在“好点”；
    ②若a＞0，因为当x=x0时，ax2+(ax0+6)x-(2a
    x
    2
    0
    +6x0)=0    ，
    要使ax2+(ax0+6)x-(2a
    x
    2
    0
    +6x0)＞0    对任意x≠x0恒成立，
    必须△=(ax0+6)2+4a(2a
    x
    2
    0
    +6x0)≤0    (ax0+2)2≤0，所以x0=-
    2
    a
    ，
    综上可得，当a≤0时，不存在“好点”；
    当a＞0时，存在惟一“好点”为(-
    2
    a
    ，
    16-4a
    a2
    )    ．
    点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及函数的单调性与导数的关系的应用和恒成立问题，恒成立求参数常常利用参变量分离法进行求解，同时考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=a-
    12x+1
    ．
    （1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；
    （2）确定a的值，使f（x）为奇函数；
    （3）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)
    a-x  ，x≤0
    1  ，0＜x≤3
    (x-5)2-a，x＞3
    （a＞0且a≠1）图象经过点Q（8，6）．
    （1）求a的值，并在直线坐标系中画出函数f（x）的大致图象；
    （2）求函数f（t）-9的零点；
    （3）设q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函数q（t）的单调递增区间．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=a-
    1
    2x+1
    ，若f（x）为奇函数，则a=（　　）
    A、
    1
    2
    B、2
    C、
    1
    3
    D、3

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    a(x-1)x2
    ，其中a＞0．
    （I）求函数f（x）的单调区间；
    （II）若直线x-y-1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；
    （III）设g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=a-
    12x-1
    ，（a∈R）
    （1）求f（x）的定义域；
    （2）若f（x）为奇函数，求a的值；
    （3）考察f（x）在定义域上单调性的情况，并证明你的结论．

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