Question

如图,四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,PC⊥AD.底面ABCD为梯形,AB∥DC,AB⊥BC,PA=AB=BC,点E在棱PB上,且PE=2EB.

(1)求证:平面PAB⊥平面PCB;

(2)求证:PD∥平面EAC;

(3)求二面角A-EC-P的大小.

Answer 1

(1)证明:∵PA⊥底面ABCD,

∴PA⊥BC.

又AB⊥BC,PA∩AB=A,

∴BC⊥平面PAB.

又BC?平面PCB,

∴平面PAB⊥平面PCB.

(2)证法一:∵PA⊥底面ABCD,

∴AC为PC在平面ABCD内的射影.

又∵PC⊥AD,

∴AC⊥AD.

在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,

得∠BAC=,

∴∠DCA=∠BAC=.

又AC⊥AD,故△DAC为等腰直角三角形.

∴DC=2AC=2(2AB)=2AB.

连结BD,交AC于点M,

则=2.

在△BPD中,=2,

∴PD∥EM.

又PD平面EAC,EM平面EAC,

∴PD∥平面EAC.

证法二:建立空间直角坐标系A—xyz,如图,

设PA=AB=BC=a,则A(0,0,0),B(0,a,0),C(a,a,0),P(0,0,a),E(0,,).

设D(a,y,0),则=(-a,-a,a),=(a,y,0).∵CP⊥AD,∴·=-a²-ay=0,

解得y=-a.∴DC=2AB.连结BD,交AC于点M,则=2.

在△BPD中,=2,∴PD∥EM.

又PD平面EAC,EM平面EAC,

∴PD∥平面EAC.

(3)解法一:在等腰Rt△PAB中,取PB中点N,连结AN,

则AN⊥PB.

∵平面PAB⊥平面PCB,

且平面PAB∩平面PCB=PB,

∴AN⊥平面PBC.

在平面PBC内,过N作NH⊥直线CE于H,连结AH,由于NH是AH在平面CEB内的射影,故AH⊥CE.

∴∠AHN就是二面角ACEP的平面角.

在Rt△PBC中,设CB=a,则PB==a,BE=PB=a,

NE=PB=a,CE==a.

由NH⊥CE,EB⊥CB可知:△NEH∽△CEB,

∴.

代入解得NH=.

在Rt△AHN中,AN=a,

∴tan∠AHN==,

即二面角ACEP的大小为arctan.

解法二:设n₁=(x,y,1)为平面EAC的一个法向量,则n₁⊥AC,n₁⊥AE,

∴

解得x=,y=,

∴n₁=(,,1).

设n₂=(x′,y′,1)为平面EBC的一个法向量,则n₂⊥,n₂⊥.

又=(a,0,0),=(0,,),

∴

解得x′=0,y′=1.∴n₂=(0,1,1).

cos〈n₁,n₂〉==.

∴二面角A-CE-P的大小为arccos.