Question

如图是某简谐运动的一段图象，其函数模型是f（x）=Asin（ωx+φ）（x≥0），其中A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

（Ⅰ）根据图象求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）将y=f（x）图象上所有的点向左平移

π

6

个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，若实数α满足0＜α＜π，

∫

π α

g（x）dx=3，求α的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,定积分,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用y=Asin（ωx+φ）的部分图象可知A=2，T=π，从而可求得ω=1；再由1×

π

6

+φ=2kπ（k∈Z），-

π

2

＜φ＜

π

2

，可求得φ，于是可得其解析式；
（Ⅱ）利用微积分基本定理可求得cosα=

1

2

，结合已知即可求得α的值．

解答： 解：（Ⅰ）由图知A=2，

1

2

T=

7π

6

-

π

6

=π，
∴T=

2π

ω

=2π，解得ω=1；
又1×

π

6

+φ=2kπ（k∈Z），-

π

2

＜φ＜

π

2

，
∴φ=-

π

6

；
∴f（x）=2sin（x-

π

6

）．
（Ⅱ）∵g（x）=f（x+

π

6

）=2sinx，
∴

∫

π α

g（x）dx=-2cosx

|

π α

=-2（cosπ-cosα）=2+2cosα=3，
∴cosα=

1

2

，又0＜α＜π，
∴α=

π

3

．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查微积分基本定理与余弦函数的性质，考查识图与运算求解能力，属于中档题．