Question

定义在实数集R函数f（x）满足f（x）+f（x+2）=0，且f（x-1）为奇函数，现有以下三种叙述：
（1）8是函数f（x）的一个周期；
（2）f（x）的图象关于点（3，0）对称；
（3）f（x）是偶函数．
其中正确的是（　　）

• A、（2）（3）
• B、（1）（2）
• C、（1）（3）
• D、（1）（2）（3）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：首先，根据f（x）+f（x+2）=0，得到f（x+4）=f（x），函数f（x）的一个周期为4，然后，结合f（x-1）为奇函数，进一步判断即可．

解答： 解：对于（1）：∵f（x）+f（x+2）=0，
∴f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），
∴函数f（x）的一个周期为4，
∴8是函数f（x）的一个周期，
故（1）正确；
对于（2）：∵f（x-1）为奇函数，并结合（1）得：
函数f（x）的图象关于点（3，0）对称，
故（2）正确；
对于（3）：结合（1），（2）得（3）正确；
故选：D．

点评：本题重点考查了奇函数的性质、周期性、对称性等知识，属于中档题．