Question

已知0＜x＜1，0＜y＜1，求证：

x2+y2

+

x2+(1-y)2

+

(1-x)2+y2

+

(1-x)2+(1-y)2

≥2

2

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题

分析：依题意，作图如下，利用两点间的距离公式可知|PO|=

x2+y2

，|PA|=

(1-x)2+y2

，|PB|=

(1-x)2+(1-y)2

，|PC|=

x2+(1-y)2

，利用三角不等式可证|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥2

2

．

解答： 解：∵0＜x＜1，0＜y＜1，设P（x，y），A（1，0），B（1，1），C（0，1），如图：

则|PO|=

x2+y2

，|PA|=

(1-x)2+y2

，|PB|=

(1-x)2+(1-y)2

，|PC|=

x2+(1-y)2

，
∵|PO|+|PB|≥|BO|=

2

，|PA|+|PC|≥|AC|=

2

，
∴|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥2

2

（当且仅当点P为正方形的对角线AC与OB的交点是取等号），
∴

x2+y2

+

x2+(1-y)2

+

(1-x)2+y2

+

(1-x)2+(1-y)2

≥2

2

．

点评：本题考查不等式的证明，考查作图能力，突出考查两点间的距离公式的应用，属于中档题．