Question

已知函数f（x）=2

2

sin

π

8

xcos

π

8

x+2

2

cos²

π

8

x-

2

，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，O为坐标原点，求△OPQ的外接圆的面积．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）借助于二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式为：f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

），从而根据周期公式求解周期，根据三角函数的单调性求解单调递增区间；
（Ⅱ）确定f（2）、f（4）的值，得到P(2，

2

)，Q(4，-

2

)，然后利用余弦定理求解
∠POQ的大小，最后，根据正弦定理的推论求解．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=2

2

sin

π

8

xcos

π

8

x+

2

(2cos2

π

8

x-1)=

2

sin

π

4

x+

2

cos

π

4

x=2sin(

π

4

x+

π

4

)，
∴f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）
∴T=

2π

π 4

=8． 
∴函数f（x）的最小正周期为8． 
由2kπ-

π

2

≤

π

4

x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
得8k-3≤x≤8k+1（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间是[8k-3，8k+1]（k∈Z）．
（Ⅱ）∵f(2)=2sin(

π

2

+

π

4

)=2cos

π

4

=

2

，
f(4)=2sin(π+

π

4

)=-2sin

π

4

=-

2

，
∴P(2，

2

)，Q(4，-

2

)，
∴|OP|=

6

，|PQ|=2

3

，|OQ|=3

2

从而cos∠POQ=

OP • OQ

| OP |•| OQ |

=

2×4+ 2 ×(- 2 )

6 ×3 2

=

3

3

，
∴sin∠POQ=

1-cos2∠POQ

=

6

3

，
设△OPQ的外接圆的半径为R，
由

|PQ|

sin∠POQ

=2R⇒R=

|PQ|

2sin∠POQ

=

2 3

2× 6 3

=

3 2

2

，
∴△OPQ的外接圆的面积S=πR2=

9

2

π．

点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、二倍角公式、辅助角公式、解三角形等知识，属于综合题目．