Question

7．已知函数f（x）=|x+1|+ax（x∈R）．
（1）证明：当a＞1时，f（x）在R上是增函数；
（2）若函数f（x）存在两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简f（x）=|x+1|+ax=$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）x-1，x≤-1}\\{（a+1）x+1，x＞-1}\end{array}\right.$，从而由一次函数判断函数的单调性；
（2）可化为函数y=|x+1|与函数y=-ax的图象有两个交点，作图象，结合图象解得．

解答 解：（1）证明：∵f（x）=|x+1|+ax=$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）x-1，x≤-1}\\{（a+1）x+1，x＞-1}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，-1]上单增，在（-1，+∞）上单增，
且函数f（x）=|x+1|+ax连续，
故f（x）在R上是增函数；
（2）∵函数f（x）存在两个零点，
∴函数y=|x+1|与函数y=-ax的图象有两个交点，
作函数y=|x+1|与函数y=-ax的图象如下，
，
结合图象可知，-1＜-a＜0，
故0＜a＜1．

点评 本题考查了分段函数的应用及函数的单调性的应用，同时考查了数形结合的思想应用．