Question

15．定义在R上的f（x）为奇函数，对任意两个正数m，n，总有f（mn）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f（x）＞0．
（Ⅰ）求f（1），并判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=sin²x+mcosx-2m，集合M={m|对任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，g（x）＜0}，N={m|对任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f[g（x）]＜0}，求M∩N．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令m=n=1．可得f（1）=0，由单调性的定义设0＜x₁＜x₂，即有$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，由条件可得又f（x₂）=（x₁）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞f（x₁），即可得到所求函数的单调性；
（Ⅱ）由题意，f（x）＜0，f（g（x））＜0等价于g（x）＜-1或0＜g（x）＜1，由g（x）＜-1问题转化?x∈[0，$\frac{π}{2}$]，sin²x+mcosx-2m＜-1恒成立，通过令t=cosθ，0≤t≤1，问题转化为：t²-mt+2m-2＞0在t∈[0，1]上恒成立，求得m的范围，然后求出M∩N．

解答 解：（Ⅰ）令m=n=1．可得f（1）=2f（1），解得f（1）=0；
设0＜x₁＜x₂，即有$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
由当x＞1时，f（x）＞0，可得f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
又f（x₂）=f（x₁•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=f（x₁）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞f（x₁），
即有f（x）在（0，+∞）上为递增函数；
（Ⅱ）由题意，f（x）＜0等价于x＜-1或0＜x＜1，
于是f（g（x））＜0等价于g（x）＜-1或0＜g（x）＜1，
从而M∩N={m|?x∈[0，$\frac{π}{2}$]，g（x）＜-1}，
由g（x）＜-1，问题转化为：?x∈[0，$\frac{π}{2}$]，sin²x+mcosx-2m＜-1恒成立．
令t=cosθ，0≤t≤1，问题转化为：t²-mt+2m-2＞0，即m在t∈[0，1]上恒成立
可得m＞$\frac{2-{t}^{2}}{2-t}$，求出$\frac{2-{t}^{2}}{2-t}$在∈[0，1]上的最大值，
2＞2-t＞1，$\frac{2-{t}^{2}}{2-t}$=$\frac{-（2-t）^{2}+4（2-t）-2}{2-t}$=-（2-t）-$\frac{2}{2-t}$+4
=-[（2-t）+$\frac{2}{2-t}$]+4≤-2$\sqrt{2}$+4，
（当t=2-$\sqrt{2}$时等号成立）
∴m＞4-2$\sqrt{2}$，即M∩N=（4-2$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，转化思想的应用，交集的计算，考查计算能力，是一道中档题．