Question

各项均为正数的数列{a_n}中，a₁=1，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*，有2S_n=2pa_n²+pa_n-p（p∈R）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=

2

an+2 + an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）在已知数列递推式中取n=1，结合a₁=1求得p=1，再代入数列递推式，同时取n=n-1得另一递推式，作差后可得an-an-1=

1

2

，即数列{a_n}是以1为首项，以

1

2

为公差的等差数列，由此求出等差数列{a_n}的通项公式；
（2）把等差数列的通项公式代入b_n=

2

an+2 + an

，分母有理化后裂项，然后利用裂项相消法求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵a₁=1，对任意的n∈N^*，有2S_n=2pa_n²+pa_n-p，
∴2a₁=2pa₁²+pa₁-p，
即2=2p+p-p，解得p=1．
2S_n=2a_n²+a_n-1，①
2S _n-1=2a_n-1 ²+a_n-1-1，（n≥2），②
①-②即得（a_n-a_n-1-

1

2

）（a_n+a_n-1）=0，
∵a_n+a_n-1≠0，∴a_n-a_n-1-

1

2

=0，即an-an-1=

1

2

．
∴数列{a_n}是以1为首项，以

1

2

为公差的等差数列．
∴an=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

；
（2）b_n=

2

an+2 + an

=

2

n+3 2 + n+1 2

=

1

n+3 + n+1

=

1

2

(

n+3

-

n+1

)，
∴Tn=

1

2

[(

4

-

2

)+(

5

-

3

)+(

6

-

4

)+…+(

n+2

-

n

)+(

n+3

-

n+1

)]
=

1

2

(

n+3

+

n+2

-

3

-

2

)．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．