Question

AB是⊙O的一条切线，切点为B，过⊙O外一点C作直线CE交⊙O于G，E，连接AE交⊙O于D，连接CD交⊙O于F，连接AC，FG，已知AC=AB
（1）证明：AD•AE=AC²；
（2）证明：FG∥AC．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：直线与圆

分析：（1）由切割线定理得AB²=AD•AE，由此能证明AC²=AD•AE．
（2）由

AD

AC

=

AC

AE

，∠EAC=∠DAC，得△ADC∽△ACE，从而得到∠EGF=∠ACE，由此能证明GF∥AC．

解答： 证明：（1）∵AB是⊙O的一条切线，AE为割线，
∴AB²=AD•AE，
又∵AB=AC，
∴AC²=AD•AE．
（2）由（1）得

AD

AC

=

AC

AE

，
∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，
∴∠ADC=∠ACE，
∵∠ADC=∠EGF，
∴∠EGF=∠ACE，
∴GF∥AC．

点评：本题考查AD•AE=AC²的证明，考查两直线平行的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理和相似三角形的性质的合理运用．