Question

已知函数f（x）=log_ax（a＞0，且a≠1）．
（1）若函数f（x）在区间[

1

2

，2]上的最大值为2，求a的值；
（2）若0＜a＜1，求使得f（2^x-1）＞0的x的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,指、对数不等式的解法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）分类讨论得出当a＞1时，log_a2=2，当0＜a＜1时，log_a

1

2

=2，
（2）转化得出log_a（2^x-1）＞log_a1，又0＜a＜1，则0＜2^x-1＜1，求解即可．

解答： 解：（1）当a＞1时，f（x）=log_ax在区间[

1

2

，2]上是增函数．
因此，f_max（x）=log_a2，则log_a2=2，
解得：a=

2

，
当0＜a＜1时，f（x）=log_ax在区间[

1

2

，2]上是减函数．
因此，f_max（x）=log_a

1

2

，则log_a

1

2

=2，
解得：a=

2

2

，
综上：a=

2

或a=

2

2

（2）不等式f（2^x-1）＞0，
即log_a（2^x-1）＞log_a1，
又0＜a＜1，则0＜2^x-1＜1，
即1＜2^x＜2，
所以0＜x＜1．

点评：本题考查了对数函数的单调性，分类讨论的思想，方程思想，难度不大，属于中档题．