Question

已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，对于任意x₁，x₂∈[-1，1]，x₁≠x₂，总有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0且f（1）=1．若对于任意α∈[-1，1]，使f（x）≤t²-2αt-1成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A、-2≤t≤2
• B、t≤-1-

  3

  或t≥

  3

  +1
• C、t≤0或t≥2
• D、t≥2或t≤-2或t=0

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可先研究函数f（x）的单调性，求出该函数在[-1，1]上的最大值，然后将问题转化为t²-2at-1≥f（x）_max对任意的α∈[-1，1]恒成立问题，再把α看成主元，研究关于α的函数的最值，即可解决问题．

解答： 解：因为对于任意x₁，x₂∈[-1，1]，x₁≠x₂，总有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
所以函数f（x）在[-1，1]上是增函数，且f（x）_max=f（1）=1．
所以问题转化为t²-2αt-1≥f（x）_max=f（1）=1对任意的α∈[-1，1]恒成立．
令g（α）=t²-2αt-1，α∈[-1，1]．
则要使上式成立，只需

g(-1)≥1 g(1)≥1

，即

t2+2t-1≥1 t2-2t-1≥1

，
解得t≤-1-

3

或t≥1+

3

．
故选：B．

点评：本题考查了函数的单调性，以及利用函数思想解决不等式恒成立问题的基本思路，属于中档题．