Question

过抛物线y²=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，已知AB=8，O为坐标原点，求：△OAB的重心的横坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求得抛物线焦点坐标，进而设出过焦点的直线方程代入抛物线方程消去x，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂，代入|AB|的表达式中即可求得k，进而根据三个定点的横坐标求得△OAB的重心的横坐标．

解答： 解：由题意知抛物线焦点F（1，0），
设过焦点F（1，0）的直线为y=k（x-1）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
代入抛物线方程y²=4x消去y得k²x²-2（k²+2）x+k²=0．
∵k²≠0，∴x₁+x₂=

2(k2+2)

k2

，x₁x₂=1．
∵|AB|

(x1+x2)2-4x1x2

=

(1+k2)[( 2(k2+2) k2 )2-4]

=8，
∴k²=1．
∴△OAB的重心的横坐标为x=

0+x1+x2

3

=2．
△OAB的重心的横坐标为2．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．常涉及直线与圆锥曲线联立消元后利用韦达定理解决问题．