Question

已知f（x）=2

3

sinxcosx+1，x∈R．
（1）求f（x）最小正周期和最大值．
（2）求f（x）的增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）运用二倍角的正弦公式，化简f（x），再由周期公式和正弦函数的最值，即可得到；
（2）由正弦函数的增区间，解不等式，即可得到所求区间．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sinxcosx+1=

3

sin2x+1，
则最小正周期为T=

2π

2

=π，
当2x=2kπ+

π

2

（k∈Z），即x=kπ+

π

4

（k∈Z），时，f（x）取得最大值，且为1+

3

；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

，解得kπ-

π

4

≤x≤kπ+

π

4

（k∈Z），
则f（x）的增区间为[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]（k∈Z）．

点评：本题考查二倍角公式的运用，考查正弦函数的周期、最值和单调区间，属于基础题．