Question

若函数f（x）=ax²+20x+14（a＞0）对任意实数t，在闭区间[t-1，t+1]上总存在两实数x₁，x₂，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥8成立，则实数a的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：结合二次函数的图象可知，当且仅当区间[t-1，t+1]的中点是对称轴时，只要满足[t-1，t+1]上总存在两实数x₁，x₂，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥8成立，则对其它任何情况必成立．

解答： 解：因为a＞0，所以二次函数f（x）=ax²+20x+14的图象开口向上．

在闭区间[t-1，t+1]上总存在两实数x₁，x₂，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥8成立，
只需t=-

10

a

时f（t+1）-f（t）≥8，
即a（t+1）²+20（t+1）+14-（at²+20t+14）≥8，
即2at+a+20≥8，将t=-

10

a

代入得a≥8．
所以a的最小值为8．
故答案为8

点评：本题考查了利用函数的最值研究恒成立问题的思路，同时结合函数图象分析问题是关键．