Question

如图等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥BD，M为AB的中点，矩形ABEF所在的平面和平面ABCD相互垂直．
（1）求证：AD⊥平面DBE
（2）设DE的中点为P，求证MP∥平面DAF
（3）若AB=2，AD=AF=1求三棱锥E-BCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）要证线与面垂直，需先证明直线AF垂直于平面内的两条相交直线，因为矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，所以BC垂直于平面ABEF，从而AF垂直于BC，依题意，AF垂直于BF，从而命题得证．
（2）取DF的中点为N，由三角形中位线定理，MN平行CD且等于CD的一半，而OA也是如此，从而MN平行且等于OA，四边形MNAO为平行四边形，所以OM平行于AN，由线面平行的判定定理即可得证OM平行于平面DAF．
（3）先计算底面三角形BEF的面积，在等腰梯形ABEF中，可得此三角形的高为

3

2

，底EF为1，再计算三棱锥C-BEF的高，即为CB，最后由三棱锥体积计算公式计算即可．

解答： 证明：（1）∵面ABCD⊥面ABEF，
面ABCD∩面ABEF=AB，
∵矩形ABEF，
∴EB⊥AB，
∵EB?面ABEF，
∴EB⊥面ABCD，
∵AD?面ABCD，
∴EB⊥AD，AD⊥BD，BD∩BE=B，
∴AD⊥面BDE．
（2）取DF的中点N，连接PN，AN，
因为P为DE 的中点，
∴PN∥EF，PN=

1

2

EF，
∵M为AB的中点
∴AM∥EF，AM=

1

2

EF，即AM∥PN，AM=PN，
即四边形AMPN为平行四边形，
∴AN∥PM，
∵PM?面ADF，AN?面ADF，
所以MP∥平面DAF．
（3）∵AF=1，AD⊥BD，AB=2，
∴∠DAB=60°
过点C作CH⊥AB于H，则∠CBH=60°，
∴CH=

3

2

，CF=AB-2HB=1，
故S△BCF=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

．
∵EB⊥平面ABCD，
∴三棱锥E-BCD的高为EB=1，
∴V_E-BCD=

1

3

×S△BCD×BE=

1

3

×

3

4

×1=

3

12

．

点评：本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的运用，线面平行的判定定理和性质定理的运用，椎体体积计算公式及其计算方法，属于中档题．