Question

对于函数f（x）=x²-ax+a²-2a-3，有x₀∈[-1，0]，使得f（x₀）＞0成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：把对于函数f（x）=x²-ax+a²-2a-3，有x₀∈[-1，0]，使得f（x₀）＞0成立，转化为有x∈[-1，0]，使x²-ax+a²-2a-3＞0成立，然后利用导数分析函数f（x）的单调性，由a的不同范围求出函数的最大值，由最大值大于0求得实数a的取值范围得答案．

解答： 解：对于函数f（x）=x²-ax+a²-2a-3，有x₀∈[-1，0]，使得f（x₀）＞0成立，
即有x∈[-1，0]，使x²-ax+a²-2a-3＞0成立，
f′（x）=2x-a，
当a≥0时，f′（x）≤0恒成立，f（x）在[-1，0]上为减函数，f(x)max=(-1)2+a+a2-2a-3=a2-a-2，
由a²-a-2＞0，得a＞2；
当a＜0时，由f′（x）=2x-a=0，得x=

a

2

，
若

a

2

≤-1，即a≤-2，则当x∈[-1，0]时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，f(x)max=f(0)=a2-2a-3，
由a²-2a-3＞0，得a＜-1或a＞3，则a≤-2；
若-1＜

a

2

＜0，即-2＜a＜0，则x∈(-1，

a

2

)时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈(

a

2

，0)时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴f（x）_max=max{f（-1），f（0）}，
由f（-1）=f（0），得a²-a-2=a²-2a-3，解得：a=-1．
∴当-2＜a≤-1时，f(x)max=f(0)=a2-2a-3，由a²-2a-3＞0，得a＜-1或a＞3，∴-2＜a＜1；
当-1＜a＜0时，f(x)max=f(-1)=a2-a-2，由a²-a-2＞0，得a＞2，∴a∈∅．
综上，使得f（x₀）＞0成立的a的取值范围是（-∞，1）∪（2，+∞）．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，关键是对“对于函数f（x）=x²-ax+a²-2a-3，
有x₀∈[-1，0]，使得f（x₀）＞0成立的理解，属难题．