Question

设函数f_n（x）=xⁿ+bx+c（n∈N₊，b，c∈R）．
（1）设n≥2，b=1，c=-1，证明：y=f_n（x）在区间（

1

2

，1）内单调递增；
（2）在（1）的条件下，证明：f_n（x）=0在区间（

1

2

，1）内存在唯一实根；
（3）设n=2，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数与方程的综合运用,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设n≥2，b=1，c=-1，化简函数的表达式，利用函数的单调性直接证明y=f_n（x）在区间（

1

2

，1）内单调递增．
（2）f_n（x）=0在区间(

1

2

，1)内存在唯一实根等价于f_n（x）=0在区间(

1

2

，1)内存在唯一零点，通过fn(

1

2

)fn(1)＜0，以及函数fn(x)=xn+x-1在区间(

1

2

，1)为增函数．即可得到结果．
（3）n=2时，f2(x)=x2+bx+c，对任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，
等价于f₂（x）在区间[-1，1]上的最大值与最小值的差M≤4，利用f₂（x）的对称轴为x=-

b

2

，①当|b|＞2时，②当0＜b≤2时，③当-2≤b≤0时，分别求出最值之差，判断b的取值范围为[-2，2]即可．

解答： 解：（1）当n≥2，b=1，c=-1时，fn(x)=xn+x-1…（1分）
设

1

2

＜x1＜x2＜1，…（2分）
f（x₂）-f（x₁）=x₂ⁿ+x₂-1-（x₁ⁿ+x₁-1）=（x₂ⁿ-x₁ⁿ）+（x₂-x₁）…（3分）
∵

1

2

＜x1＜x2＜1，且∴x₂ⁿ-x₁ⁿ＞0，x₂-x₁＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴y=f_n（x）在区间（

1

2

，1）内单调递增   …（4分）
（2）f_n（x）=0在区间(

1

2

，1)内存在唯一实根等价于f_n（x）=0在区间(

1

2

，1)内存在唯一零点                                             …（5分）
∵fn(

1

2

)fn(1)=(

1

2n

-

1

2

)×1＜0，
∴f_n（x）在区间(

1

2

，1)内有零点．…（6分）
由（1）知n≥2时，fn(x)=xn+x-1在区间(

1

2

，1)为增函数．…（7分）
所以f_n（x）在区间(

1

2

，1)内存在唯一的零点；…（8分）
（3）n=2时，f2(x)=x2+bx+c…（9分）
所以对任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，
等价于f₂（x）在区间[-1，1]上的最大值与最小值的差M≤4，…（10分）
∵f₂（x）的对称轴为x=-

b

2

．
①当|-

b

2

|＞1，即|b|＞2时，M=|f₂（1）-f₂（-1）|=2|b|＞4，不合题意．…（11分）
②当-1≤-

b

2

＜0，即0＜b≤2时，
M=f2(1)-f2(-

b

2

)=

b2

4

+b+1=

1

4

(b+2)2≤4恒成立；…（12分）
③当0≤-

b

2

≤1，即-2≤b≤0时，
M=f2(-1)-f2(-

b

2

)=

b2

4

-b+1=

1

4

(b-2)2≤4恒成立     …（13分）
综上所得，b的取值范围为[-2，2]…（14分）

点评：本题考查函数的最值的几何意义，函数的恒成立，函数的单调性以及函数的零点，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力．