Question

已知函数f（x）=

a

x

-x，对?x∈（0，1），有f（x）-f（x-1）≥1恒成立，则实数a的取值范围

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：把函数解析式代入f（x）-f（x-1）≥1，把f（x）-f（x-1）≥1恒成立转化为对x∈（0，1），不等式a≥2x²-2x³恒成立，利用导数求得函数f（x）=-2x³+2x²在x∈（0，1）上的最大值得答案．

解答： 解：由f（x）=

a

x

-x，且f（x）-f（x-1）≥1，得

a

x

-x-

a

x-1

-x+1≥1，
整理得：

a

x(1-x)

≥2x，
又x∈（0，1），不等式

a

x(1-x)

≥2x等价于a≥2x²-2x³．
令f（x）=-2x³+2x²，x∈（0，1），
则f′（x）=-6x²+4x．
当x∈(0，

2

3

)时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当x∈(

2

3

，1)时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
∴当x=

2

3

时，f(x)max=f(

2

3

)=-2×(

2

3

)3+2×(

2

3

)2=

8

27

．
∴a≥

8

27

．
故答案为：a≥

8

27

．

点评：本题考查了恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，是中高档题．