Question

某校高三年级有400人，在省标准化考试中，用简单随机抽样的方法抽取容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图（如图）．
（1）求第四个小矩形的高；
（2）估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在120分以上的学生大约有多少人？
（3）样本中，已知成绩在[140，150]内的学生中有三名女生，现从成绩在[140，150]内的学生中选取3名学生进行学习经验推广交流，设有X名女生被选取，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）由频率分布直方图的性质，能求出第四个小矩形的高．
（2）由频率分布直方图得数学成绩在120分以上的频率为0.7，由此可估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在120分以上的学生人数．
（3）由频率分布直方图可知，样本中成绩在[140，150]内的学生共有6人，由题设知这6人恰好是3男3女，从而X的所有可能取值为0、1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）由频率分布直方图可知，第四个小矩形的高为：
[1-（0.01+0.020+0.030+0.012）×10]÷10=0.028．（3分）
（2）∵样本中，数学成绩在120分以上的频率为：
1-（0.01+0.020）×10=0.7，（4分）
∴通过样本估计总体（即将频率看作概率），
可估计该校高三年级在这次考试中数学成绩
在120分以上的学生大约有400×0.7=280（人）．（6分）
（3）由频率分布直方图可知，样本中成绩在[140，150]内的学生共有0.012×10×50=6（人）．
于是，由题设知这6人恰好是3男3女．（7分）
∴X的所有可能取值为0、1、2、3，
P（X=0）=

C 3 3

C 3 6

=

1

20

，P（X=1）=

C 1 3 C 2 3

C 3 6

=

9

20

，
P（X=2）=

C 2 3 C 1 3

C 3 6

=

9

20

，P（X=3）=

C 3 3

C 3 6

=

1

20

．（10分）
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	1 20	9 20	9 20	1 20

∴X的数学期望为：EX=0×

1

20

+1×

9

20

+2×

9

20

+3×

1

20

=

3

2

．（12分）

点评：本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力．