Question

设函数f（x）=e^x（lnx-a），e是自然对数的底数，e≈2，718，a∈R为常数．
（1）若y=f（x）在x=1处的切线l的斜率为2e，求a的值；
（2）在（1）的条件下，证明切线l与曲线y=f（x）在区间（0，

1

2

）至少有1个公共点；
（3）若[ln2，ln3]是y=f（x）的一个单调区间，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，得到方程e（ln1-a+1）=2e，解出即可；
（2）先求出切线l的方程，得到g（e^-4）g（

1

2

）＜0，y=g（x）在（e^-4，

1

2

）内有零点，从而证出结论；
（3）先求出a≤1时，y=f（x）在[ln2，ln3]上单调递增，再通过比较h（ln2）与h（ln3）的大小，从而求出a的范围．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x（lnx-a+

1

x

），
依题意，k=f′（1）=e（ln1-a+1）=2e，解得：a=-1，
（2）由（1）f（1）=e，直线l的方程为y-e=2e（x-1），即y=2ex-e，
作g（x）=f（x）-（2ex-e）=e^x（lnx+1）-2ex+e，
则g（

1

2

）=

e

（1-ln2）＞0，g（e^-4）=-3ee-4-2e^-3+e＜-3+e＜0（用其他适当的数替代e^-4亦可）
因为y=g（x）在（e^-4，

1

2

）上是连续不断的曲线，g（e^-4）g（

1

2

）＜0，y=g（x）在（e^-4，

1

2

）内有零点，
而（e^-4，

1

2

）?（0，

1

2

），从而切线l与曲线y=f（x）在区间（0，

1

2

）至少有1个公共点；
（3）f′（x）=e^x（lnx-a+

1

x

），[ln2，ln3]是y=f（x）的一个单调区间当且仅当f′（x）在[ln2，ln3]上恒大于等于零，或恒小于等于零，由e^x＞0，作h（x）=lnx+

1

x

h′（x）=

1

x

-

1

x2

，由h′（x）=

1

x

-

1

x2

=0得x=1，

x	[ln2，1）	1	（1，ln3]
h′（x）	-	0	+
h（x）	↘	最小值	↗

h（x）在[ln2，ln3]上的最小值为m=1，所以，当且仅当a≤1时，y=f（x）在[ln2，ln3]上单调递增，
下面比较h（ln2）与h（ln3）的大小
由2³＜3²＜e³，2＜3

2

3

＜e，ln2＜

2

3

ln3＜1以及h（x）在[ln2，1）上单调递减得h（ln2）＞h（

2

3

ln3），
h（ln2）-h（ln3）＞h（

2

3

ln3）-h（ln3）=ln

2

3

+

1

2ln3

=

1-ln3ln 9 4

2ln3

，
ln3ln

9

4

＜

1

4

（ln3+ln

9

4

）²=

1

4

(ln

27

4

)2＜

1

4

（ln7）²＜

1

4

（lne²）²=1，
∴h（ln2）＞h（ln3），当且仅当a≥lnln2+

1

ln2

时，y=f（x）在[ln2，ln3]上单调递减，综上所述，a的取值范围为（-∞，1]∪[lnln2+

1

ln2

，+∞）．

点评：本题考查了函数的单调性，曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道综合题．