Question

如图，⊙O的直径AB=4，弦CD所在直线与AB的延长线交于点P，且

AE

=

AC

，ED是AB交于点F．
（1）求证：PF•PO=PB•PA；
（2）若PB=2BF，试求PB的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：直线与圆,推理和证明

分析：（1）由

AE

=

AC

，得∠EDC=∠AOC，从而∠POC=∠FDP，进而△POC∽△PDF，由此能证明PF•PO=PB•PA．
（2）设PB=x，则BF=

1

2

x，PF=

3

2

x，PO=x+2，PA=x+4，由PF•PO=PB•PA，能求出PB=2．

解答： （1）证明：∵

AE

=

AC

，∴∠EDC=∠AOC，
∴∠POC=∠FDP，∠P是公共角，
∴△POC∽△PDF，∴

PO

PC

=

PD

PF

，
∴PD•PC=PF•PO，
∵PD•PC=PB•PA，∴PF•PO=PB•PA．
（2）解：∵PB=2BF，∴设PB=x，则BF=

1

2

x，PF=

3

2

x，
又∵⊙O半径为2，∴PO=x+2，PA=x+4，
由（1）知PF•PO=PB•PA，
∴

3

2

x(x+2)=x(x+4)，
解得x=2或x=0（舍），
∴PB=2．

点评：本题考查线段长乘积相等的证明，考查线段长的求法，解题时要注意同弧所对圆周角相等、三角形相似的性质的灵活运用．