Question

如图PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，∠APC的平分线分别交AB、AC于点D、E．
（1）证明：∠ADE=∠AED；
（2）若OA=1，PC=

3

PA，求PC的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：直线与圆

分析：（1）由弦切角定理得∠BAP=∠C，从而∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，由此能证明∠ADE=∠AED．
（2）由∠BAP=∠C，∠APC=∠BPA，得△APC∽△BPA，从而

CA

AB

=

3

，由此能求出PC=PB+BC=1+2=3．

解答： （1）证明：∵PA是切线，AB是弦，
∴∠BAP=∠C，
又∵∠APD=∠CPE，
∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，
∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，
∴∠ADE=∠AED．
（2）解：由（1）知∠BAP=∠C，
又∵∠APC=∠BPA，∴△APC∽△BPA，
∴

PC

PA

=

CA

AB

，∵PC=

3

PA，∴

CA

AB

=

3

，
∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°，
Rt△BAC中，tan∠C=

CA

AB

=

3

3

，∴∠C=30°，
∴∠ABC=60°，∠APC=30°，
∵OA=1，∴PC=PB+BC=1+2=3．

点评：本题考查两角相等的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理、三角形相似、圆的性质等知识点的合理运用．