以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位,已知直线 的参数方程为 (t为参数, ),曲线C的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程。
(Ⅱ)设直线 与曲线C相交于A,B两点,当a变化时,求 的最小值
(Ⅰ)(Ⅱ)4
解析试题分析:(Ⅰ)将两边乘以得,,将代入上式得曲线C的直角坐标方程;(Ⅱ)将将直线的参数方程代入曲线C的普通方程中,整理关于t的二次方程,设M,N两点对应的参数分别为,利用一元二次方程根与系数将,用表示出来,利用直线参数方程中参数t的几何意义得,|AB|=,再转化为关于与的函数,利用前面,关于的表示式,将上述函数化为关于的函数,利用求最值的方法即可求出|AB|的最小值.
试题解析:(Ⅰ)由,得
所以曲线C的直角坐标方程为 (4分)
(Ⅱ)将直线l的参数方程代入,得
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则
t1+t2=,t1t2=,
∴|AB|=|t1-t2|==,
当时,|AB|的最小值为4 (10分)
考点: 极坐标方程与直角坐标互化,直线与抛物线的位置关系,直线的参数方程中参数t的几何意义,设而不求思想
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知曲线C1:(为参数),曲线C2:(t为参数).
(1)指出C1,C2各是什么曲线,并说明C1与C2公共点的个数;
(2)若把C1,C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线.写出的参数方程.与公共点的个数和C公共点的个数是否相同?说明你的理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),若以直角坐标系的点为极点,轴正方向为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,得直线的极坐标方程为.求直线与曲线交点的极坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知在直角坐标系xOy中,圆锥曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l经过定点P(2,3),倾斜角为.
(Ⅰ)写出直线l的参数方程和圆的标准方程;
(Ⅱ)设直线l与圆相交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.
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