Question

6．数列{a_n}和{b_n}满足：对任意自然数n，a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，且b₅=196，b₇=400．数列{c_n}的前n项和为S_n，且c_n=2-2S_n（n∈N^*）
（1）求证：数列{$\sqrt{{b}_{n}}$}为等差数列；
（2）求数列{b_n}，{c_n}的通项公式；
（3）数列{$\sqrt{{b}_{n}}$•c_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列和等比数列的中项的性质，可得2b_n=$\sqrt{{b}_{n-1}{b}_{n}}$+$\sqrt{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，即有数列{$\sqrt{{b}_{n}}$}为等差数列；
（2）设{$\sqrt{{b}_{n}}$}的公差为d，运用等差数列的通项公式，计算即可得到所求通项；再由当n=1时，c₁=S₁=，
当n＞1时，c_n=S_n-S_n-1，将n换为n-1，相减可得所求通项；
（3）求得$\sqrt{{b}_{n}}$•c_n=2（3n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，可得所求和，再由不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）证明：a_n，b_n，a_n+1成等差数列，可得
2b_n=a_n+a_n+1，
b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，可得a_n+1²=b_n•b_n+1，
由b_n＞0，可得a_n+1=$\sqrt{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，
则2b_n=$\sqrt{{b}_{n-1}{b}_{n}}$+$\sqrt{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，
可得2$\sqrt{{b}_{n}}$=$\sqrt{{b}_{n-1}}$+$\sqrt{{b}_{n+1}}$，
即有数列{$\sqrt{{b}_{n}}$}为等差数列；
（2）设{$\sqrt{{b}_{n}}$}的公差为d，
b₅=196，b₇=400，即有$\sqrt{{b}_{5}}$=14，$\sqrt{{b}_{7}}$=20，
d=$\frac{\sqrt{{b}_{7}}-\sqrt{{b}_{5}}}{7-5}$=$\frac{20-14}{7-5}$=3，
即有$\sqrt{{b}_{n}}$=$\sqrt{{b}_{5}}$+（n-5）d=14+3（n-5）=3n-1，
可得b_n=（3n-1）²，
当n=1时，c₁=S₁=2-2S₁，解得c₁=$\frac{2}{3}$，
当n＞1时，c_n=2-2S_n（n∈N^*），
将n换为n-1，可得c_n-1=2-2S_n-1（n∈N^*），
相减可得，c_n-c_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2c_n，
即为c_n=$\frac{1}{3}$c_n-1，
可得c_n=c₁q^n-1=2•（$\frac{1}{3}$）ⁿ；
（3）$\sqrt{{b}_{n}}$•c_n=2（3n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
前n项和为T_n=2[2•$\frac{1}{3}$+5•（$\frac{1}{3}$）²+8•（$\frac{1}{3}$）³+…+（3n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ]，
$\frac{1}{3}$T_n=2[2•（$\frac{1}{3}$）²+5•（$\frac{1}{3}$）³+8•（$\frac{1}{3}$）⁴+…+（3n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹]，
两式相减可得，$\frac{2}{3}$T_n=2[$\frac{2}{3}$+3（（$\frac{1}{3}$）²+（$\frac{1}{3}$）³+（$\frac{1}{3}$）⁴+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ）-（3n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹]
=2[$\frac{2}{3}$+3•$\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-（3n-1）•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹]，
化简可得T_n=$\frac{7}{2}$-$\frac{6n+7}{2•{3}^{n}}$，
则T_n＜$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查等差（比）数列的中项的性质，以及等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，化简整理的运算能力，属于中档题．