Question

1．（1）四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一个面上有多少种不同方法？
（2）四面体的顶点和各棱中点共10个点，从其中取4个不共面的点，有多种不同的取法？

Answer 1

分析 （1）分三类，在同一侧面，在1条侧棱与斜对底边中点中取，在不相邻的侧棱上取，相加问题得以解决．
（2）由题意知从10个点中任取4个点有C₁₀⁴种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去补合题意的结果．

解答 解：（1）含顶点A的四面体的3个面上，除点A外每个面都有5个点，从中取出3个点必与A共面，共有3•C₅³=30种取法，含顶点A的三条棱上各有3个点，他们与所对的棱的中点共面，共有3种取法，
根据分类计数原理可得共有30+3=33种取法，
（2）从10个点中任取4个点有C₁₀⁴种取法，
其中4点共面的情况有三类．
第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C₆⁴种；
第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；
第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），
它的4顶点共面，有3种．
以上三类情况不合要求应减掉，
∴不同的取法共有C₁₀⁴-4C₆⁴-6-3=141种．

点评 本题考查排列组合的解决简单实际问题，分类加法计数原理、分步乘法计数原理，属于中档题．