Question

3．（1）求函数y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-3x+2）的值域；
（2）证明：在定义域内，y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-3x+2）与y=x²-3x+2在相同的区间有着相反的单调性．

Answer 1

分析 （1）配方可知x²-3x+2=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，从而求函数y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-3x+2）的值域；
（2）由复合函数的单调性判断证明即可．

解答 解：（1）∵x²-3x+2=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∴x²-3x+2＞0，
∴函数y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-3x+2）的值域为R；
（2）证明：∵y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x在定义域上是减函数，
且函数y=x²-3x+2在（2，+∞）上为增函数，
由复合函数的单调性知y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-3x+2）在（2，+∞）上为减函数，
函数y=x²-3x+2在（-∞，1）上为减函数，
由复合函数的单调性知y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-3x+2）在（-∞，1）上为增函数；
故在定义域内，y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-3x+2）与y=x²-3x+2在相同的区间有着相反的单调性．

点评 本题考查了对数函数的性质的判断与证明，同时考查了复合函数的性质应用．