Question

10．已知e是自然对数的底数，若函数f（x）=e^x-x+a的图象始终在x轴的上方，则实数a的取值范围（　　）

• A． （-1，+∞）
• B． （-∞，-1）
• C． [-1，+∞）
• D． （-∞，-1]

Answer 1

分析 将问题转化为f（x）=e^x-x+a＞0对一切实数x恒成立，求出函数的导数f′（x），利用导数判断函数的单调性，求出最小值，最小值大于0时a的范围，即a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=e^x-x+a的图象始终在x轴的上方，
∴f（x）=e^x-x+a＞0对一切实数x恒成立，
∴f（x）_min＞0，
∵f′（x）=e^x-1，
令f′（x）=0，求得x=0，
当x＜0时，f′（x）＜0，则f（x）在（-∞，0）上单调递减，
当x＞0时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴当x=0时，f（x）取得极小值即最小值为f（0）=1+a，
∴1+a＞0，
∴a＞-1，
∴实数a的取值范围为（-1，+∞），
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．考查了函数的恒成立问题，对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．本题考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求出导函数对应方程的根，然后求出跟对应的函数值，区间端点的函数值，然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值．属于中档题．