Question

7．已知直线l与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A（a，0），B（0，b）两点，O为坐标原点，S_△OAB=4，且a+b=6．
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆C上有P，Q两动点，且OP⊥OQ，求证：$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$为定值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的面积公式，即可求得ab=8，由a+b=6，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设直线PQ的方程，代入椭圆方程，由韦达定理，及向量数量积的坐标运算，求得$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}+1}$=$\frac{16}{5}$，利用点到直线的距离公式求得d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，则$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{丨PQ{丨}^{2}}{丨PQ{丨}^{2}•{d}^{2}}$=$\frac{1}{{d}^{2}}$=$\frac{5}{16}$，为定值．

解答 解：（1）S_△OAB=$\frac{1}{2}$ab=4，则ab=8，
由a+b=6，则a=4，b=2，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则$\overrightarrow{OP}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{OQ}$=（x₂，y₂），
由OP⊥OQ，
设PQ方程为：y=kx+m，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+1）x²+8kmx+4m²-16=0，
x₁+x₂=$\frac{8km}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-16}{4{k}^{2}+1}$，
则y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
∴（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
则（k²+1）×$\frac{4{k}^{2}-16}{4{k}^{2}+1}$+km（$\frac{8km}{4{k}^{2}+1}$）+m²=0，
整理得：$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}+1}$=$\frac{16}{5}$，
即d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{丨OP{丨}^{2}+丨OQ{丨}^{2}}{丨OP{丨}^{2}•丨OQ{丨}^{2}}$=$\frac{丨PQ{丨}^{2}}{丨PQ{丨}^{2}•{d}^{2}}$=$\frac{1}{{d}^{2}}$=$\frac{5}{16}$，
综上所述，$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$为定值．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．