Question

若函数f（x）=xcosx在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a₁，a₂，…，a_n，…，则对任意正整数n必有（　　）

• A、π＜a_n+1-a_n＜

  3π

  2

• B、

  π

  2

  ＜a_n+1-a_n＜π
• C、0＜a_n+1-a_n＜

  π

  2

• D、-

  π

  2

  ＜a_n+1-a_n＜0

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：求出函数的导数，利用函数导数和极值之间的关系，结合图象，确定a_n…，的关系即可求．

解答： 解：f′（x）=cosx-xsinx，
由f′（x）=0得x=

1

tanx

，
设x₀＞0是f′（x）=0的任意正实根，则存在一个非负整数k，
使x₀∈（

π

2

+kπ，π+kπ），即x₀在第二或第四象限内，
则满足f′（x）=0的正根x₀都是f（x）的极值点．
设函数f（x）在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a₁＜a₂＜…＜a_n…，
则

π

2

+（n-1）π＜a_n＜π+（n+1）π，

π

2

+nπ＜a_n+1＜π+nπ，
则

π

2

＜a_n+1-a_n＜

3π

2

∵a_n+1-a_n=

1

tanan+1

-

1

tanan

=

tanan-tanan+1

tanantanan+1

=-（1+tana_n+1•tana_n）tan（a_n+1-a_n）

1

tanantanan+1

，
∵tana_n+1-tana_n＞0，
∴tan（a_n+1-a_n）＜0，
∴a_n+1-a_n必在第二象限，即a_n+1-a_n＜π，
综上

π

2

＜a_n+1-a_n＜π．
故选：B．

点评：本题主要考查函数零点个数的判断，以及函数极值和导数之间的关系，综合性较强，难度较大．