Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l：x-y+3=0与圆O：x²+y²=r²（r＞0）相交于A，B两点．若

OA

+2

OB

=

3

OC

，且点C也在圆O上，则圆O的半径r=

3

2

．

Answer 1

分析：联立直线与圆的方程即可得到根与系数的关系，再利用已知向量关系式，即可得出点C的坐标满足的关系式，代入圆的方程又得出点A，B的坐标的关系式，联立即可解出．

解答：解：设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立x-y+3=0与圆O：x²+y²=r²（r＞0）
，消去y得到关于x的一元二次方程2x²+6x+9-r²=0，
∵直线l与圆O相较于A、B两点，则△=36-8（9-r²）＞0．（*）
∴x₁+x₂=-3，x₁•x₂=

9-r2

2

．
设点C（x₀，y₀）．
∵

OA

+2

OB

=

3

OC

，且点C也在圆O上，
（x₁，y₁，）+2（x₂，y₂）=

3

（x₀，y₀）．
又∵y₁=x₁+3，y₂=x₂+3．
∴可得：

x0= x1+2x2 3 y0= x1+2x2+9 3

代入圆O的方程得（

x1+2x2

3

）²+（

x1+2x2+9

3

）²=r²，
化为（x₁+2x₂）²+（x₁+2x₂+9）²=3r²，
再与x₁+x₂=-3，x₁•x₂=

9-r2

2

联立
消去x₁，x₂化为r²=18，满足（*）．
故答案为：3

2

点评：熟练掌握直线与圆相交问题变得解题模式、根与系数的关系、向量相等、方程的思想方法是解题的关键．