Question

3．已知抛物线y²=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B，设|AF|=m，|BF|=n，则m+n的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $\sqrt{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 由抛物线y²=4x与过其焦点（1，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点坐标，再依据抛物线的定义，由韦达定理可以求得答案．

解答 解：由题意知，抛物线y²=4x的焦点坐标为（1，0），
当斜率k存在时，设直线AB的方程为y=k（x-1），
联立抛物线方程，可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
设出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
则 x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1．
依据抛物线的定义得出m+n=x₁+x₂+2＞4，
当斜率k不存在时，m+n=4．
则m+n的最小值是4．
故选D．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决，属于中档题．需要注意对斜率不存在的情况加以研究．