Question

18．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，cosB=$\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosC}{sinC}$的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积为2，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据cosB求出sinB的值，利用a，b，c成等比数列，根据正弦定理和同角三角函数的基本关系及诱导公式，求出$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosC}{sinC}$的值；
（Ⅱ）根据△ABC的面积公式求出b的值，再利用余弦定理求出a²+c²以及a+c即可．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，∵cosB=$\frac{3}{5}$＞0，
∴sinB=$\sqrt{1{-cos}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$，
由a，b，c成等比数列，得b²=ac，
根据正弦定理得：sin²B=sinAsinC，
∴$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{cosAsinC+sinAcosC}{sinAsinC}$
=$\frac{sin（A+C）}{sinAsinC}$
=$\frac{sin（π-B）}{sinAsinC}$
=$\frac{sinB}{sinAsinC}$
=$\frac{sinB}{{sin}^{2}B}$
=$\frac{1}{sinB}$
=$\frac{5}{4}$；
（Ⅱ）△ABC的面积为S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$b²•$\frac{4}{5}$=2，
∴b=$\sqrt{5}$；
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-2×5×$\frac{3}{5}$，
∴a²+c²=b²+6=5+5=11，
∴（a+c）²=a²+2ac+c²=11+2×5=21，
∴a+c=$\sqrt{21}$；
∴△ABC的周长为a+b+c=$\sqrt{21}$+$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了正弦定理以及等比数列的性质和同角三角函数间的基本关系应用问题，是综合性题目．