Question

6．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6，BD=3，
DC=2．
（1）若AD⊥BC，求∠BAC的大小；
（2）若∠ABC=$\frac{π}{4}$，求△ADC的面积．

Answer 1

分析 （1）设∠BAD=α，∠DAC=β，由已知可求tanα=$\frac{1}{2}$，tanβ=$\frac{1}{3}$，利用两角和的正切函数公式可求tan∠BAC=1．结合范围∠BAC∈（0，π），即可得解∠BAC的值．
（2）设∠BAD=α．由正弦定理可求sinα=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，利用大边对大角，同角三角函数基本关系式可求cosα的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin∠ADC，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）设∠BAD=α，∠DAC=β．
因为AD⊥BC，AD=6，BD=3，DC=2，
所以tanα=$\frac{1}{2}$，tanβ=$\frac{1}{3}$，…（2分）
所以tan∠BAC=tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=1．…（4分）
又∠BAC∈（0，π），
所以∠BAC=$\frac{π}{4}$．…（6分）
（2）设∠BAD=α．在△ABD中，∠ABC=$\frac{π}{4}$，AD=6，BD=3．
由正弦定理得$\frac{AD}{sin\frac{π}{4}}$=$\frac{BD}{sinα}$，解得sinα=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．…（8分）
因为AD＞BD，
所以α为锐角，从而cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$．…（10分）
因此sin∠ADC=sin（α+$\frac{π}{4}$）=sinαcos$\frac{π}{4}$+cosαsin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{4}$+$\frac{\sqrt{14}}{4}$）=$\frac{1+\sqrt{7}}{4}$．…（12分）
△ADC的面积S=$\frac{1}{2}$×AD×DC•sin∠ADC=$\frac{1}{2}$×6×2×$\frac{1+\sqrt{7}}{4}$=$\frac{3}{2}$（1+$\sqrt{7}$）．…（14分）

点评 本题主要考查了两角和的正切函数公式，正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．