Question

14．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y²=2px（p＞0）的焦点的距离为3，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-1，1），则双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

Answer 1

分析 利用抛物线方程求出双曲线的实半轴的长，利用渐近线与抛物线的准线方程的交点，求出虚半轴的长，可得双曲线方程．

解答 解：双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-1，1），双曲线的渐近线方程bx+ay=0，可得b=a，
可得p=2，抛物线的焦点坐标（1，0），双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y²=2px（p＞0）的焦点的距离为3，可得a=4，b=4．
所求双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

点评 本题考查双曲线方程的求法，抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．