Question

9．已知A，B是圆O：x²+y²=4上的两个动点，|$\overrightarrow{AB}$|=2，$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，若M是线段AB的中点，则$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OM}$的值为（　　）

• A． 3
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2
• D． -3

Answer 1

分析 由A，B是圆O：x²+y²=4上的两个动点，|$\overrightarrow{AB}$|=2，得到$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为$\frac{π}{3}$，再根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可．

解答 解：A，B是圆O：x²+y²=4上的两个动点，|$\overrightarrow{AB}$|=2，
∴$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为$\frac{π}{3}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|•cos$\frac{π}{3}$=2×2×$\frac{1}{2}$=2，
∵M是线段AB的中点，
∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），
∵$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$）
=$\frac{1}{6}$（5|$\overrightarrow{OA}$|²+3•$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$-2|$\overrightarrow{OB}$|²）=$\frac{1}{6}$（20+6-8）=3，
故选：A

点评 本题考查了圆的有关性质以及向量的几何意义和向量的数量积公式，属于中档题．