Question

1．已知正实数a，b满足$\frac{1}{{（{2a+b}）b}}+\frac{2}{{（{2b+a}）a}}=1$，则ab的最大值为2-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，可以将ab转化可得ab=$\frac{1}{2+\frac{b}{a}}$+$\frac{2}{2+\frac{a}{b}}$，令$\frac{b}{a}$=t，则ab又可以变形为ab=1+$\frac{t-1}{2{t}^{2}+5t+2}$，再令u=t-1，ab进一步可以变形为ab=1+$\frac{1}{2u+\frac{9}{u}+9}$，利用基本不等式，计算可得答案．

解答 解：根据题意，由于$\frac{1}{{（{2a+b}）b}}+\frac{2}{{（{2b+a}）a}}=1$，
则ab=ab（$\frac{1}{{（{2a+b}）b}}+\frac{2}{{（{2b+a}）a}}$）=$\frac{a}{2a+b}$+$\frac{2b}{2b+a}$=$\frac{1}{2+\frac{b}{a}}$+$\frac{2}{2+\frac{a}{b}}$；
令$\frac{b}{a}$=t，
则ab=$\frac{1}{2+t}$+$\frac{2}{2+\frac{1}{t}}$=$\frac{1}{2+t}$+$\frac{2t}{2t+1}$=$\frac{2t+1+2t（2+t）}{（2+t）（2t+1）}$=$\frac{2{t}^{2}+6t+1}{2{t}^{2}+5t+2}$=1+$\frac{t-1}{2{t}^{2}+5t+2}$，
令u=t-1，t=u+1；
ab=1+$\frac{u}{2（u+1）^{2}+5（u+1）+2}$=1+$\frac{u}{2{u}^{2}+9u+9}$=1+$\frac{1}{2u+\frac{9}{u}+9}$≤1+$\frac{1}{2\sqrt{18}+9}$=2-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；
即ab的最大值2-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；
故答案为：2-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查基本不等式的应用，关键是利用$\frac{1}{{（{2a+b}）b}}+\frac{2}{{（{2b+a}）a}}=1$，借助恒等变形将问题进行转化．