Question

13．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面四边形ABCD为菱形，A₁A=AB=2，∠ABC=$\frac{π}{3}$，E，F分别是BC，A₁C的中点．
（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；
（2）点M在线段A₁D上，$\frac{{A}_{1}M}{{A}_{1}D}$=λ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF，AD所成角的余弦值；
（2）点M在线段A₁D上，$\frac{{A}_{1}M}{{A}_{1}D}$=λ．求出平面AEF的法向量，利用CM∥平面AEF，即可求实数λ的值．

解答 解：因为四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁为直四棱柱，
所以A₁A⊥平面ABCD．
又AE?平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以A₁A⊥AE，A₁A⊥AD．
在菱形ABCD中∠ABC=$\frac{π}{3}$，则△ABC是等边三角形．
因为E是BC中点，所以BC⊥AE．
因为BC∥AD，所以AE⊥AD．
建立空间直角坐标系．则A（0，0，0），C（$\sqrt{3}$，1，0），D（0，2，0），
A₁（0，0，2），E（$\sqrt{3}$，0，0），F（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1）．
（1）$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），$\overrightarrow{EF}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），
所以异面直线EF，AD所成角的余弦值为$\frac{1}{2\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．               …（4分）
（2）设M（x，y，z），由于点M在线段A₁D上，且 $\frac{A1M}{A1D}$=λ，
则（x，y，z-2）=λ（0，2，-2）．
则M（0，2λ，2-2λ），$\overrightarrow{CM}$=（-$\sqrt{3}$，2λ-1，2-2λ）．        …（6分）
设平面AEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₀，y₀，z₀）．
因为 $\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}{x}_{0}=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}+\frac{1}{2}{y}_{0}+{z}_{0}=0}\end{array}\right.$，得x₀=0，$\frac{1}{2}$y₀+z₀=0．
取y₀=2，则z₀=-1，
则平面AEF的一个法向量为n=（0，2，-1）．              …（8分）
由于CM∥平面AEF，则$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}$=0，即2（2λ-1）-（2-2λ）=0，解得λ=$\frac{2}{3}$．…（10分）

点评 本题考查线面角，考查线面平行的运用，考查向量知识的运用，属于中档题．