Question

8．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．
（1）当a=90时，求纸盒侧面积的最大值；
（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）当a=90时，b=40，求出侧面积，利用配方法求纸盒侧面积的最大值；
（2）表示出体积，利用基本不等式，导数知识，即可确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．

解答 解：（1）因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a=90时，b=40，
从而包装盒子的侧面积S=2×x（90-2x）+2×x（40-2x）=-8x²+260x，x∈（0，20）．…（3分）
因为S=-8x²+260x=-8（x-16.25）²+2112.5，
故当x=16.25时，侧面积最大，最大值为2112.5平方厘米．
（2）包装盒子的体积V=（a-2x）（b-2x）x=x[ab-2（a+b）x+4x²]，x∈（0，$\frac{b}{2}$），b≤60．…（8分）
V=x[ab-2（a+b）x+4x²]≤x（ab-4$\sqrt{ab}$x+4x²）=x（3600-240x+4x）
=4x³-240x²+3600x．…（10分）
当且仅当a=b=60时等号成立．
设f（x）=4x³-240x²+3600x，x∈（0，30）．则f′（x）=12（x-10）（x-30）．
于是当0＜x＜10时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，10）上单调递增；
当10＜x＜30时，f′（x）＜0，所以f（x）在（10，30）上单调递减．
因此当x=10时，f（x）有最大值f（10）=16000，…（12分）此时a=b=60，x=10．
答：当a=b=60，x=10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．…（14分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查基本不等式，考查利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．