Question

16．已知函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$ax²-x-m（m∈Z）．
（Ⅰ）若f（x）是增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a＜0，且f（x）＜0恒成立，求m最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为$a≥{（\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}）_{max}}$，求出a的范围即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，设g（x）=ax²-x+1，根据函数的单调性求出m的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）${f^/}（x）=\frac{1}{x}+ax-1$，…（1分）
依题设可得$a≥{（\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}）_{max}}$，…（2分）
而$\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=-{（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）^2}+\frac{1}{4}≤\frac{1}{4}$，当x=2时，等号成立．             …（4分）
所以a的取值范围是$[\frac{1}{4}，+∞）$…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知${f^/}（x）=\frac{1}{x}+ax-1$=$\frac{{a{x^2}-x+1}}{x}$
设g（x）=ax²-x+1，则g（0）=1＞0，g（1）=a＜0，
$g（x）=a{（x-\frac{1}{2a}）^2}+1-\frac{1}{4a}$在（0，+∞）内单调递减．
因此g（x）在（0，1）内有唯一的解x₀，使得$a{x_0}^2={x_0}-1$…（7分）
而且当0＜x＜x₀时，f′（x）＞0，当x＞x₀时，f′（x）＜0…（8分）
所以$f（x）≤f（{x_0}）=ln{x_0}+\frac{1}{2}ax_0^2-{x_0}-m$=$ln{x_0}+\frac{1}{2}（{x_0}-1）-{x_0}-m$=$ln{x_0}-\frac{1}{2}{x_0}-\frac{1}{2}-m$…（10分）
设$r（x）=lnx-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}-m$，则${r^/}（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}=\frac{2-x}{2x}＞0$，
所以r（x）在（0，1）内单调递增．所以r（x）＜r（1）=-1-m，
由已知可知-1-m≤0，所以m≥-1，即m最小值为-1…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．