Question

4．如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是直角梯形，其中AB⊥AD，AB=2AD=2AA₁=4，CD=1．
（Ⅰ）证明：BD₁⊥平面A₁C₁D；
（Ⅱ）求BD₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AD₁，B₁D₁，证明A₁D⊥BD₁，A₁C₁⊥BD₁，即可证明：BD₁⊥平面A₁C₁D；
（Ⅱ）建立坐标系，求出平面的法向量，即可求BD₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：连接AD₁，B₁D₁，则AB是平面AD₁的垂线，BD₁是平面AD₁的斜线，AD₁是BD₁在平面AD₁内的射影，∴A₁D⊥BD₁，
∵Rt△C₁D₁A₁∽Rt△B₁A₁D₁，∴∠D₁A₁C₁+∠A₁D₁B₁=∠D₁A₁C₁+∠D₁C₁A₁=90°，∴A₁C₁⊥B₁D₁，∴A₁C₁⊥BD₁，
∵A₁D∩A₁C₁=A₁，
∴BD₁⊥平面A₁C₁D；
（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，则A₁（0，0，0），B（2，4，0），C₁（0，1，2），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（2，4，0），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（0，1，2），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-2，-4，2），
设BD₁与平面A₁BC₁所成角为θ，平面A₁BC₁的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{2x+4y=0}\\{y+2z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（4，-2，1），
则sinθ=|$\frac{2}{\sqrt{24}•\sqrt{21}}$=$\frac{\sqrt{14}}{42}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．